A= 4x²y² - (x² + y² - z² )²

= (2xy - x² - y² + z²)(2xy + x² + y² - z²)

=[ z²-(x-y)²].[ (x+y)²-z² ]

=(z-x+y)(z+x-y)(x+y-z)(z+y+z)

x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác=>x>0,y>0,x>0

áp dụng bất đẳng thức của tam giác

ta có:

z-x+y>0

z+x-y>0

x+y-z>0

x+y+z>0

=> tích (z-x+y)(z+x-y)(x+y-z)(x+y+z) >0

=> A>0

Biến đổi \(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}=\frac{x^4-x-y^4+y}{\left(y^3-1\right)\left(x^3-1\right)}=\frac{\left(x^4-y^4\right)-\left(x-y\right)}{xy\left(y^2+y+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

(Do x+y=1 => \(\hept{\begin{cases}y-1=-x\\x-1=-y\end{cases}}\))

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)}{xy\left(x^2y^2+y^2x+y^2+yx^2+xy+y+x^2+x+1\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x^3+y^3-1\right)}{xy\left[x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+2\right]}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x^2-x+y^2-y\right)}{xy\left[x^2y^2+\left(x+y\right)^2+2\right]}=\frac{\left(x-y\right)\left[x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)\right]}{xy\left(x^2y^2+3\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left[x\left(-y\right)+y\left(-x\right)\right]}{xy\left(x^2y^2+3\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left(-2xy\right)}{xy\left(x^2y^2+3\right)}=\frac{-2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\left(đpcm\right)\)

a: Ta có: \(x^2-8x+20\)

\(=x^2-8x+16+4\)

\(=\left(x-4\right)^2+4>0\forall x\)

b: Ta có: \(-x^2+6x-19\)

\(=-\left(x^2-6x+19\right)\)

\(=-\left(x^2-6x+9+10\right)\)

\(=-\left(x-3\right)^2-10< 0\forall x\)

Ta có: x²+y²+2xy-4x-2y+1=0

      ⇔(x²+y²+2xy-2x-2y+1)-2x=0

      ⇔(x+y-1)²=2x

Mà (x+y-1)² là số chính phương

⇒2x là số chính phương

⇒2x chia 4 dư 0 hoặc 1

Mà 2x là số chẵn 

⇒2x chia hết cho 4

⇒x chia hết cho 2

⇒x là số chẵn(đpcm)

Lại có:(x+y-1)²=2x

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\)=x

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\): 2=x:2

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\). \(\dfrac{1}{2}\) =x:2

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{4}\)=x:2

⇒(\(\dfrac{x+y-1}{2}\))²=x:2  

Mà \(\left(\dfrac{x+y-1}{2}\right)^2\) là số chính phương

⇒x:2 là số chính phương (đpcm)

\(ĐK:x\ne y;x\ne-y;x^2+xy+y^2\ne0;x^2-xy+y^2\ne0\)

\(A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\left[1:\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]\\ A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\\ A=x-y=B\)

\(x=0;y=0\Leftrightarrow B=0\)

Giá trị của A không xác định vì \(x=y\) trái với ĐK:\(x\ne y\)

Vậy \(A\ne B\)

Ta có : x² + 2x + 2

= x² + 2x + 1 + 1

= (x + 1)² + 1 \(\ge1\forall x\)

Vậy  x² + 2x + 2 \(>0\forall x\)

Ta có : x² + 2x + 2

=> x² + 2x + 1 + 1

=> ( x + 1)² + 1  >  1\(\forall x\)

Vậy x² + 2x + 2   > \(0\forall x\)